Binary Tree

二叉树的定义

在电脑科学中，二叉树（英语：Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于2的节点）的树结构[1]。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

二叉树的第i层至多拥有2i−1个节点；深度为k的二叉树至多总共有2k+1−1个节点（定义根节点所在深度 k0=0!），而总计拥有节点数符合的，称为“满二叉树”；深度为k有n个节点的二叉树，当且仅当其中的每一节点，都可以和深度k的满二叉树，序号1到n的节点一对一对应时，称为完全二叉树。对任何一棵非空的二叉树T，如果其叶片（终端节点）数为n0，分支度为2的节点数为n2，则n0=n2+1。

二叉树的发展历史

1. 早期背景和数学基础：
   • 在计算机科学发展之前，树结构的概念已经在数学中存在。数学家和图论专家研究了树的性质和特点。
   • 计算机科学的发展从20世纪中期开始，数据结构和算法的研究逐渐兴起。
2. 20世纪50年代：
   • 二叉树在计算机科学中开始被正式研究和应用。1950年代是二叉树概念的形成时期。
   • 当时的计算机科学家开始研究如何有效地存储和检索数据，二叉树被发现是一种有效的数据结构，尤其是在实现搜索和排序操作时。
3. 二叉搜索树 (BST)：
   • 二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中左子节点的值总是小于父节点的值，右子节点的值总是大于父节点的值。
   • 1959年，二叉搜索树的概念被正式提出，成为一种广泛使用的数据结构，用于高效的数据查找和排序。
4. 自平衡二叉树：
   • 1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 提出了 AVL树，这是第一种自平衡二叉搜索树。AVL树通过在插入和删除节点时进行旋转操作，保持树的平衡，从而保证了操作的时间复杂度为O(log n)。
   • 1972年，Rudolf Bayer 发明了红黑树，这是一种自平衡二叉搜索树，进一步提高了效率和稳定性。
5. 其他变体和应用：
   • 随着计算机科学的发展，二叉树的其他变体（如堆、B树、Trie树等）被广泛研究和应用在不同的领域，如数据库、编译器、网络路由等。
   • 二叉树在算法设计、数据压缩（如哈夫曼编码）、表达式解析和计算等方面有着广泛的应用。

二叉树的种类

根据结构和性质的不同，二叉树可以分为许多种类。以下是一些常见的二叉树种类及其特点：

1. 完全二叉树（Complete Binary Tree）

• 定义：除了最后一层外，其他每一层的节点数都达到最大，且最后一层的节点都集中在最左边。
• 特点：叶子节点只能出现在最后两层，并且最后一层的叶子节点都靠左排列。

1. 满二叉树（Full Binary Tree）

• 定义：每个节点要么有两个子节点，要么没有子节点。
• 特点：叶子节点都在同一层，且每个非叶子节点都有两个子节点。

1. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）

• 定义：任意节点的左右子树的高度差不超过1。
• 特点：为了保证查找、插入和删除操作的时间复杂度保持在 O(log n) 级别。

1. 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）

• 定义：对任意节点，左子树上所有节点的值都小于该节点的值，右子树上所有节点的值都大于该节点的值。
• 特点：支持高效的查找、插入和删除操作。

总结 二叉树还有很多其他种类，每种都有其特定的用途和性质。根据具体应用场景选择合适的二叉树可以提高算法的效率和性能。

二叉树的重要性

• 高效查找：二叉搜索树允许在平均O(log n)的时间内进行查找操作。
• 排序功能：通过中序遍历二叉搜索树，可以获得有序的数据序列。
• 灵活性和扩展性：二叉树的变体（如AVL树、红黑树、B树等）在保持效率的同时，适应不同的应用场景和需求。
• 基础性：二叉树是很多复杂数据结构和算法的基础，如图的遍历、表达式解析、哈夫曼编码等。

综上所述，二叉树作为一种基础的数据结构，在计算机科学的发展中起到了重要的作用。从最初的数学概念到如今各种复杂的变体和应用，二叉树一直是计算机科学研究和应用的核心部分。

二叉树在内存中的储存

二叉树在内存中，使用链式存储。

也有线性存储，即使用数组来存储。

假设我们在一个32位系统上，int 和指针都占用4个字节（32位）。我们将val设置为42，并假设left和right指针为空（即NULL）。

在二进制位模式下：

• 42 的二进制表示是 00000000 00000000 00000000 00101010。
• NULL 的二进制表示是 00000000 00000000 00000000 00000000。

因此，内存布局将是：

地址:    0x1000   0x1004   0x1008   0x100C
        +--------+--------+--------+--------+
值:     |   42   |  NULL  |  NULL  |
        +--------+--------+--------+--------+
字段:   |  val   |  left  |  right |
        +--------+--------+--------+--------+

64位系统中，val值不够长度会进行补齐，保持长度和后面的指针一致。